[로봇 제어 입문] LQR을 통한 비선형 시스템의 국소 안정화

 

 

  LQR은 선형 시스템에서 사용하는 최적제어 기법이지만, 비선형제어와도 밀접하게 연결되어 있다. 왜냐하면, LQR에서 비선형 시스템의 최적 제어 해의 국소적 근사(local approximation)를 할 수 있기 때문이다.

 

 비선형 시스템 $\dot{\mathbf{x}} = f(\mathbf{x}, \mathbf{u})$과 안정화 가능한 동작점 $(\mathbf{x}_0, \mathbf{u}_0)$ ,$f(\mathbf{x}_0, \mathbf{u}_0) = 0$ 이 주어져 있다고 하자.

 

우리는 상대 좌표계를 정의할 수 있다.

$$\bar{\mathbf{x}} = \mathbf{x} - \mathbf{x}_0, \quad \bar{\mathbf{u}} = \mathbf{u} - \mathbf{u}_0$$

또한, 

$$\dot{\bar{\mathbf{x}}} = \dot{\mathbf{x}} = f(\mathbf{x}, \mathbf{u})$$

이고, 우리는 1차 테일러 전개로 선형으로 근사할 수 있다.

$$\dot{\bar{\mathbf{x}}} \approx f(\mathbf{x}_0, \mathbf{u}_0) 
+ \frac{\partial f(\mathbf{x}_0, \mathbf{u}_0)}{\partial \mathbf{x}} (\mathbf{x} - \mathbf{x}_0) 
+ \frac{\partial f(\mathbf{x}_0, \mathbf{u}_0)}{\partial \mathbf{u}} (\mathbf{u} - \mathbf{u}_0) 
= \mathbf{A}\bar{\mathbf{x}} + \mathbf{B}\bar{\mathbf{u}}$$

 

마찬가지로, 보상함수에 관해서도 상대좌표계에서 quadratic cost function을 정의할 수도 있거나, 기존에 정의된 비선형 보상 함수를 poistive definite한 2차 테일러 전개를 해서 얻을 수 있다.(2차 테일러 전개에서 선형항과 상수항을 제대로 반영하는 방법은 Linear Quadratic Tracking파트에 나온다)

 

이렇게 얻어지는 제어기는 $\bar{\mathbf{u}}^* = -\mathbf{K}\bar{\mathbf{x}}$또는

$$\mathbf{u}^* = \mathbf{u}_0 - \mathbf{K}(\mathbf{x} - \mathbf{x}_0)$$

이다.

 

 편리하게, DRAKE 에서는  controller = LinearQuadraticRegulator(system, context, Q, R) 로 대부분의 동적 시스템(여러 서브시스템으로 구성된 블록 다이어그램 포함)의 제어기를 호출할 수 있게 해준다. 이 함수가 선형화를 자동으로 수행해준다.

 

출처 : Russ Tedrake, Underactuated Robotics, MIT, 2024. https://underactuated.csail.mit.edu