[선형대수학] Quadratic Form

다음과 같은 vector function을 우리는 Quadratic Form이라고 부른다. 최적화 이론에서 특히 중요한 개념이다.

$$f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$$

 

1. Definition of Quadratic Form

두 변수 x, y에 대한 quadratic equation은 아래와 같다.

$$ax^2 + 2bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$$

 

이는 다음처럼 쓸 수 있다.

$$\begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} d & e \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + f = 0$$

$$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad A = \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}$$

 

즉, 이런 term을 quadratic form이라고 한다.

$$\mathbf{x}^T A \mathbf{x} = ax^2 + 2bxy + cy^2$$

 

출처: Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2021). Linear algebra and its applications (6th ed., Global ed.). Pearson.