[선형대수학] 대각화 Diagonalization

 

 

$n \times n$ 행렬 $A$는 $XDX^{-1}$로 표현할 수 있다. 이때 $D$는 대각행렬이다.

Theorem.
만약 $\lambda_1, \lambda_2,··· , \lambda_k$가 $n \times n$ 행렬 $A$의 서로 다른 eigenvalue라면 대응되는 eigenvector $x_1,x_2, ··· ,x_k$는 선형 독립(linearly independent)이다. 

 

1. Digonalization이란?

$n \times n$ 행렬 $A$에 대해 nonsingular matrix $X$와 diagonal matirx $D$가 존재한다면 $A$가 diagonalizable하다고 말한다.

$$X^{-1}AX=D$$

우리는 이걸 $X$가 $A$를 대각화한다고 말한다.

 

Theorem.
$n \times n$ 행렬 $A$가 대각화 가능하면(diagonalizable)하면 $A$는 $n$개의 선형 독립(linearly independent)한 고유벡터(eigenvector)를 가지고 있다. 또한 역도 성립한다.

해당 정리는 선형결합해서 0이 나오는 경우가 상수항이 모두 0일때만인지를 검사해서 쉽게 유도할 수 있다.

Proof.

$Ax_j=\lambda_jx_j$이므로 $AX$의 j번째 열벡터는 j번째 eigenvalue와 eigenvector의 곱과 같다

$$\begin{aligned}
AX &= (A\mathbf{x}_1, A\mathbf{x}_2, \cdots, A\mathbf{x}_n) \\
&= (\lambda_1 \mathbf{x}_1, \lambda_2 \mathbf{x}_2, \cdots, \lambda_n \mathbf{x}_n) \\
&= (\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \cdots, \mathbf{x}_n)
\begin{bmatrix}
\lambda_1 & & & \\
& \lambda_2 & & \\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_n
\end{bmatrix} \\
&= XD
\end{aligned}$$

$X$가 n개의 선형 독립(linearly independent)한 열벡터를 가지고 있으므로, $X$는 nonsingular하다. 따라서,

$$D = X^{-1}AX$$

이다.

 

• 만약 $A$가 대각화 가능하면 $X$의 열벡터들은 $A$의 eigenvector고 D의 대각 성분은 대응되는 $A$의 eigenvalue다.
• 대각화 행렬 $X$는 유일하지 않다.
• 만약 eigenvalue들이 중복된다면 A 행렬이 무엇이냐에 따라 대각화 가능할 수도 있고 불가능할 수도 있다. 이 경우 기하적 중복도(geometric multiplicity)가 가능 여부를 좌우한다.
• $A$가 대각화 가능하면 $A$는 $ X^{-1}DX$로 나눌 수 있다.

또한, 다음이 성립한다.

$$A^k = XD^kX^{-1} = X
\begin{bmatrix}
\lambda_1^k & & & \\
& \lambda_2^k & & \\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_n^k
\end{bmatrix}
X^{-1}$$

출처: Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2021). Linear algebra and its applications (6th ed., Global ed.). Pearson.